Lehrinhalte
Physikalisch informiertes maschinelles Lernen (PIML) ist ein neuartiger Ansatz, der etablierte physikalische Prinzipien wie gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen mit deterministischen und stochastischen Einstellungen mit den Fähigkeiten von Algorithmen für maschinelles Lernen verbindet. Durch die Einbettung physikalischer Gesetze in den Lernrahmen ermöglicht PIML präzisere und robustere Vorhersagen, selbst in komplexen, unsicheren und hochdimensionalen Bereichen. Diese Integration von verrauschten Daten und mathematischen physikalischen Modellen wird typischerweise durch neuronale Netze oder kernelbasierte Regressionsmodelle realisiert, die effiziente und direkte Implementierungen für vorwärts- und rückwärtsgerichtete Probleme bieten.
In diesem Seminar werden die Teilnehmer die Kernprinzipien von PIML analysieren, wobei der Schwerpunkt auf der numerischen Analyse von Vorwärts- und Umkehrproblemen liegt, die durch eine Klasse von gewöhnlichen Differentialgleichungen (ODEs), partiellen Differentialgleichungen (PDEs), Differentialgleichungen gebrochener Ordnung (FDEs), Verzögerungsdifferentialgleichungen oder Zeitverzögerungssystemen (DDEs) und stochastischen Differentialgleichungen (SDEs) auf der Grundlage der vorhandenen Literatur vorgegeben sind. Wir werden die Anwendungen von PIML in verschiedenen Bereichen (z. B. Strömungsdynamik, medizinische Bildgebung, Energiesysteme usw.) untersuchen, die durch verschiedene mathematische Modellierungsprobleme bestimmt werden. Darüber hinaus werden die Teilnehmer in der Hausaufgabe PIML-Algorithmen auf der Grundlage verschiedener mathematischer Probleme implementieren, um ihr theoretisches Wissen mit praktischen Anwendungen unter Verwendung von Python und seinen verschiedenen ML-Toolboxen zu erweitern.
Zu den voraussichtlich behandelten Themen gehören
- Physikinformierte neuronale Netze (PINNs)
- Vorwärts-Rückwärts-Stochastische Neuronale Netze
- Fraktionale physikinformierte neuronale Netze (fPINNs)
- Quantifizierung der Unsicherheit in PINNs
- Fluch des Dimensionalitätsproblems in PINNs
- Neuronale gewöhnliche Differentialgleichungen
- Neuronale stochastische Differentialgleichungen
- Universelle Differentialgleichungen
- Diffusions-Modelle
- Invariante und äquivariante Netze
- Neuronale Spike-Netze
- Anwendungen in den Bereichen Strömungsdynamik und -mechanik, Energiesysteme, Computational Neuroscience, Systembiologie, Finanzen
