Lernergebnisse
In der Veranstaltung werden die Grundlagen der reellen Analysis vermittelt. Der Stoff der Vorlesung bildet das Fundament für jede weitere mathematische Arbeit im analytischen Bereich. Die Studierenden sind vertraut mit der Struktur mathematischer Schluss- und Arbeitsweisen und können diese in den aufbauenden mathematischen Lehrveranstaltungen anwenden.
Fachkompetenz: 50%, Methodenkompetenz: 30%, Systemkompetenz: 10%, Sozialkompetenz: 10%
Lehrinhalte
Mengen und Abbildungen; Aufbau des Zahlensystems; Folgen und Reihen reeller und komplexer Zahlen, Vollständigkeit der reellen Zahlen; Raum der stetigen Funktionen, gleichmäßige Konvergenz; Differen- tiation im Eindimensionalen, Taylorscher Satz, Differentiation von Funktionenreihen; Potenzreihen und elementare Funktionen; Regelintegral oder Riemannsches Integral, uneigentliche Integrale.
Metrische Räume, normierte Vektorräume, Vollständigkeit, Banachscher Fixpunktsatz; Grundbegriffe der Topologie: offene, abgeschlossene und kompakte Mengen, Konvergenz und Stetigkeit, Zusammenhangs- begriffe; Differentiation in (endlichdimensionalen) normierten Vektorräumen; partielle Ableitungen, Satz von Schwarz, Taylorscher Satz; Umkehrsatz, implizite Funktionen, Extrema ohne Nebenbedingungen, Extrema mit Gleichungsnebenbedingungen.
Gewöhnliche Differentialgleichungen: einfache Beispiele, Satz von Picard-Lindelöf, lineare Systeme.
Funktionentheorie*: Cauchyscher Integralsatz, Potenzreihentwicklung, Residuensatz.
Grundbegriffe der Maß- und Integrationstheorie: Ringe, -Algebren, Prämaße, Maße, Produktmaße, Le-
besgueintegral, Konvergenzsätze, Satz von Fubini, Lp-Räume; Transformationssatz; Vektoranalysis: Inte-
gration über Flächen, Gauscher und Stokesscher Integralsatz, Differentialformen*, Mannigfaltigkeiten*
Fourierreihen, Fouriertransformation*.
* = optional
Beschreibung der Lehr- und Lernformen
Vorlesungen, Übungen, Tutorien
